created at February 11, 2026

Базовый расчёт зубчатой передачи

основные соотношения

Рассмотрим основные геометрические параметры зубчатой передачи. Имеется ввиду самый "классический" случай эвольвентной прямозубой передачи (поскольку есть очень много других, более специальных случаев). Здесь не будем углубляться в детали, для этого есть специальная техническая литература (детали машин, теория механизмов и т.п.). Рассмотрим самое основное, что нужно знать, чтобы замоделировать зубчатое зацепление, например, для 3D печати.

В зубчатом зацеплении участвует пара - шестерня (с меньшим кол-вом зубьев), и зубчатое колесо (с большим кол-вом зубьев). Если кол-во зубьев равно, ведущее колесо - шестерня, ведомое - зубчатое колесо.

Кол-во зубьев ведущей шестерни - z₁, ведомой - z₂. Передаточное отношение: r = z₂/z₁

Рис.1. Основные геометрические параметры зубчатого зацепления

Есть четыре основных окружности для зубчатого колеса (рис.1): внешняя (d_a), внутренняя (d_f), делительная (d) и базовая (d_b). Все они показаны на рис.1 для второго колеса. Весь зуб целиком расположен между внутренней и внешней окружностью. По делительной окружности оба колеса обкатываются при вращении. То есть, если мысленно заменить шестерни двумя цилиндрическими поверхностями, которые соприкасаются друг с другом и не проскальзывают друг относительно друга, то эти цилиндры будут вращаться эквивалентно шестерням. Соответственно, отношение диаметров делительных окружностей будет такое же, как и передаточное отношение всей зубчатой передачи в целом.

Чтобы исключить вибрации при работе пары, вызванные постоянным смещением точки контакта зубьев при вращении и изменением передаточного отношения, зуб иммет специальную форму - эвольвенту. Если мы положим прямую рейку на цилиндрическую поверхность и начнём её обкатывать по поверхности, то кончик рейки будет описывать определённую траекторию. Это и будет эвольвента. Для этого есть базовая (d_b) окружность - по ней нужно обкатывать "рейку", чтобы получить профиль нашего зуба. При такой форме зуба, линия силового взаимодействия (или линия зацепления) двух контактирующих зубьев (красная линия 1 на рис. 1) не меняет положения в пространстве, и передаточное отношение остаётся постоянным. Это позволяет шестерням вращаться плавно и тихо.

Также отметим, что угол α между линией зацепления 1 и касательной 2 к делительной окружности как правило принимается равным 20°. Линия зацепления всегда касательна к базовым окружностям обоих колёс.

Расстояние между двумя соседними зубьями - шаг p. Это длина арки, отложенной на делительной окружности между двумя соседними зубьями. Однако, на практике удобнее использовать модуль зуба m.

m=\frac{d}{z}

Если мысленно развернуть делительную окружность, растянуть её по прямой линии, а потом сжать длину окружности до диаметра окружности d, то шаг p пропорционально сожмётся до модуля m. Поэтому также верно:

m=\frac{p}{\pi}

Значение модулей стандартизировано, и выбирается по таблицам.

Высота зуба над делительной поверхностью равна модулю m. Высота зуба под делительной поверхностью равна модулю 1.25 * m. То есть, полная высота зуба - 2.25 * m. Когда мы выбрали модуль и кол-во зубьев, исходя из требуемого передаточного отношения, диаметры окружностей выражаются сдедующим образом:

d_a=\left( z+2 \right) \cdot m

d_f=\left( z-2.5 \right) \cdot m

d=z \cdot m

Расстояние между осями колёс:

d_{12}=\left( \frac{z_1}{2} + \frac{z_2}{2} \right) \cdot m

Если заданы диаметры колёс, то из этих формул можно выразить z₁, z₂.

Число зубьев лучше не выбирать меньше 16-и, так как сильно искажается геометрия зуба и возникают проблемы с зацеплением зубьев. Если при заданных диаметрах колёс z₁ < 16 или z₂ < 16, то нужно выбрать модуль поменьше.

Построение профиля зуба

Дальше я расскажу как можно построить профиль зуба в CAD программе. Сразу оговорюсь! Большинство современных CAD приложений имеют готовые модули для построения зубчатых колёс. Используйте их. Однако, если всё-же есть необходимость нарисовать самому - то есть разные методики для этого. Я придумал свою, мне её хватает (когда не получается использовать готовые модули) для моделирования и 3D печати пластмассовых колёс.

Диаметр базовой окружности:

d_b = d\cdot cos(20^\circ )

Введём углы φ₁, φ₂:

\phi_1 = \frac{360}{z\cdot 2};\quad \phi_2 = \frac{360}{z\cdot 4};

Рис.2. Построение эвольвентного профиля

Проведём прямую 1, соединяющую центры колёс (рис.2). Проведём прямую 2, под углом φ₂ к вертикали. На пересечении прямой 2 и делительной окружности отмечаем точку 5. Это будет одна из точек контура зуба. Проведём прямую 3 через точку 5, касательную к базовой окружности. Получим точку касания 4. Расстояние между точками 4 и 5:

L = \frac{d}{2}\cdot sin(20^\circ)

Если теперь обкатывать прямую 3 по базовой окружности в сторону основания зуба, то точка 5 переместится в точку 6. Отрезок O₂-6 составляет с отрезком О₂-4 угол φ₃:

\phi_3 = \left( \frac{180}{\pi} \right) \cdot\frac{2\cdot L}{d_b}

Построим прямую 7, она составляет угол φ₁ с прямой 3, а также касательна к базовой поверхности. Получим точку 8. Точка 9 отстоит от точки 8 на расстояние L₁:

L_1 = L + \phi_1\cdot\left( \frac{\pi}{180} \right) \cdot\frac{d_b}{2}

Построим прямую 10, она составляет угол 2*φ₁ с прямой 3, а также касательна к базовой поверхности. Получим точку 11. Точка 12 отстоит от точки 11 на расстояние L₂:

L_2 = L + 2\cdot\phi_1\cdot\left( \frac{\pi}{180} \right) \cdot\frac{d_b}{2}

Теперь мы можем провести кривую (сплайн) через точки 6, 5, 9, 12. В нашем случае d_b > d_f (это не обязательно всегда будет так), поэтому можем дополнить контур зуба прямой линией 6-13, опущенной радиально вниз к основанию зуба. Также проведём арку 14-15 по внешней окружности зуба - это будет контур вершины зуба. Теперь нужно отзеркалить полученный профиль 13-6-5-9-14-15 относительно межосевой линии О₁_О₂, и получим полный профиль.

Если нужно построить зубчатую рейку, то это по-сути зубчатое колесо с бесконечно большим диаметром, а значит эвольвента вырождается в прямую линию. То есть, зуб будет иметь форму трапеции, боковые стороны будут образовывать угол 20° с осью симметрии зуба (рис.3).

Рис.3. Построение зубчатой рейки